1. Tiên đề quảng tính

Một tập hợp hoàn toàn được xác định bởi các phần tử của nó[1]

∀ x ∀ y [ ∀ z ( z ∈ x ⇔ z ∈ y ) ⇒ x = y ] . {\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}

2. Tiên đề chính tắc

Mọi tập không rỗng x {\displaystyle x} chứa một phần tử y {\displaystyle y} sao cho x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} là rời nhau.

∀ x [ ∃ a ( a ∈ x ) ⇒ ∃ y ( y ∈ x ∧ ¬ ∃ z ( z ∈ y ∧ z ∈ x ) ) ] . {\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].} [2]

3. Tiên đề tuyển lựa (tiên đề nội hàm)

Ta có thể xây dựng một tập hợp y {\displaystyle y} từ các phần tử x {\displaystyle x} trong tập hợp z {\displaystyle z} thỏa mãn các tính chất nhất định.[3] Cố định một tính chất ϕ {\displaystyle \phi } , ta có

∀ z ∃ y ∀ x [ x ∈ y ⇔ ( ( x ∈ z ) ∧ ϕ ( x ) ) ] . {\displaystyle \forall z\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \phi (x))].}

4. Tiên đề cặp

Nếu x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} là các tập hợp thì tồn tại một tập hợp chứa x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} như các phần tử

∀ x ∀ y ∃ z ( ( x ∈ z ) ∧ ( y ∈ z ) ) . {\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}

Theo tiên đề quảng tính, tập hợp đó là duy nhất.[4]

5. Tiên đề hợp

∀ F ∃ A ∀ Y ∀ x [ ( x ∈ Y ∧ Y ∈ F ) ⇔ x ∈ A ] . {\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Leftrightarrow x\in A].}

6. Tiên đề thay thế

Tiên đề này được sử dụng trong quy nạp siêu hạn với số thứ tự.[5]

∀ A ∀ w 1 ∀ w 2 … ∀ w n [ ∀ x ( x ∈ A ⇒ ∃ ! y ϕ ) ⇒ ∃ B   ∀ x ( x ∈ A ⇒ ∃ y ( y ∈ B ∧ ϕ ) ) ] . {\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}.}

7. Tiên đề vô hạn

Đặt S ( w ) {\displaystyle S(w)} là tập hợp w ∪ { w } {\displaystyle w\cup \{w\}} .Ta có[5]

∃ X [ ∅ ∈ X ∧ ∀ y ( y ∈ X ⇒ S ( y ) ∈ X ) ] . {\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}

Tiên đề này cho phép xây dựng các số tự nhiên liên tiếp và tập hợp các số tự nhiên.

8. Tiên đề tập hợp các bộ phận

Tồn tại tập hợp các bộ phận, hay tập lũy thừa:[6]

∀ x ∃ y ∀ z [ z ⊆ x ⇒ z ∈ y ] . {\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y].}